Para empezar es necesario determinar las condiciones con las cuales se dará inicio al trabajara con la siguiente expresion:

Este es el número complejo que tiene la forma trigonométrica

En la que

El numero r es el modulo de z y \theta \text{ es un argumento de z Y atraves del teorema de DeMoivre que afirma que si}

entonces para cualquier entero n


Arraigados bajo esta idea se puede afirmar que para encontrar las raíces n-ésimas se obtendrá de la siguiente manera:

para k=0, 1, 2, 3, ... n-1

Aquí se hara un estudio para determinar gráficamente cual es el comportamiento respecto al polígono que se forma de las raíces n-ésimas respesto a la posición del modulo si queda por dentro, fuera o en laz frontera del polígono.
En este apartado se analizara donde a=b además los valores que se tomen serán menores que 1, para hacer este análisis es necesario que se tenga en cuenta los casos en los cuales los valores que se tomen estén entre 0 y 1 y aquellos que se tomen entre 0 y -1 y finalmente los menores iguales que -1 y los mayores e iguales que 1.

COMPONENTES DEL COMPLEJO

Caso 1 0<a<1

aquì se tendrìa que:

es decir





es el argumento, como se sabe que z, los componentes a y b son iguales se puede afirmar que para el caso que se esta estudiando siempre este será
su argumento.
Se hará un estudio cuando el número de raíces n-ésimas es el mismo del denominador del numero complejo.
TABLA
Las raíces n-ésimas se observan que si se continua con los k se podría observar que las raíces se repetirían.
Se observa que los numeradores de cada uno de los argumentos estará determinado por la expresión 8n-7 y de los denominadores estarían determinados por la expresión 4n.Es decir que al ubicar de forma polar las raíces n-ésimas de un número complejo de los cuales su a y b son el mismo y además se encuentra en
el siguiente intervalo y encontraron los anteriores siguientes:

  • m= es un numero que pertenece a los números reales y es diferente de cero.
  • n=es la cantidad de raíces n-ésimas que se desean obtener del numero complejo.
  • k= es el numero que permite determinar el argumento de cada raiz sucesiva y los valores que toma son 0,1,2,3…n-1.
ES decir si se desea conocer el lugar todas las raíces se reconoce que el modulo de z es:

Donde el argumento de cada raiz sucesiva estará determinado por la expresión.

para k=0, 1, 2, 3, ... n-1
Pero para dar una mayor caracterizaciòn del comp'ortamiento gràfico de las raicescon respecto a la posiciòn del mòdulo se ha decidico dividirlo en raices pares y raices impares.

TABLA
Es decir que podemos conjeturar para hallar el argumento de la raiz n-ésima de un numero complejo de la forma.

estará dado bajo la sucesión de la forma: Si f= 4h donde h=2n que se evidencia que la sucesión para encontrar las raíces

Para k =0,1,2,3..n-1.Raices impares:Las cuales tendrán esta forma:

TABLAAAA
Se puede observar que tiene un comportamiento semejante a las raíces pares ya que al buscar el argumento siempre dependerá de la raiz n-ésima que se quiera hallar.
Caso 2 a=b=m

si -1<m<0
math \ a=b= \frac{1}{m}$

\ r= |Z| = \sqrt{\left (\frac{1}{m})^2 }+({\frac{1}{m})^2 }}$

\ r= |Z| = \sqrt{\left \frac{1}{m^2}}+{\frac{1}{m^2}}}$



el procedimiento es anàlogo al anterior.
Es decir que el modulo es igual al caso 1, es decir que los argumentos también serán los mismos que en el caso 1.Lo único en que variará será en la posición del z, en el plano complejo.

Caso 3
Ahora se tomaran los casos los cuales a=b=m y además mayores iguales que 1.
FALTA COMPLETAR

La siguiente condición que miraremos es cuando a<b
de este caso se desprenden, además, los casos donde:
2.1. a<1, b<1
2.2. a>1, b>1 y finalmente
2.3. a<1 y b >1}
En cada caso se debe opbservar el comportamiento del complejo cuando n es par y cuando n es impar.
recordemos la forma de hallar el mòdulo de un complejo donde a y b son diferentes

tambièn recordemos còmo hallamos el àngulo



Ahora, se mostrarà un ejemplo concreto de còmo se usa la fòrmula de DeMoivre para observar luego la ubicaciòn del complejo tomemos el primer caso a<1, b<1
a=0.6, b=0.7 n=4



para k=0 tendremos que el àngulo resultante serà:

para k=1 tenemos

k=2

k=3


Tabla 1

En la siguiente tabla se relacionan algunos ejemplos de los casos mencionados (2.1., 2.2. y 2.3.) con n par y n impar, en los cuales se realizò el mismo càlculo anterior.
1/n
a
bi
Mod
Arg (z)
K=0
K=1
K=2
K=3
K=4
K=5
K=6
interior
1/3
0,6
0,2
0,7368
18,435
6,145
126,145
246,145




x
1/3
0,4
0,5
0,7429
90,000
30,000
150,000
270,000




x
1/3
5
6
3,9365
50,194
16,731
136,731
256,731





1/3
2
3
2,3513
56,309
18,770
138,770
258,770





1/3
0,6
2
1,6337
73,300
24,433
144,433
264,433




x
1/3
0,8
12
5,2492
86,186
28,729
148,729
268,729





1/4
0,6
0,2
0,7953
18,435
4,609
94,609
184,609
274,609




1/4
0
0,5
0,7071
90,000
22,500
112,500
202,500
292,500




1/4
5
6
2,7947
50,194
12,549
102,549
192,549
282,549



x
1/4
2
3
1,8988
56,310
14,077
104,077
194,077
284,077




1/4
0,6
2
1,4450
73,301
18,325
108,325
198,325
288,325




1/4
0,8
12
3,4679
86,186
21,546
111,546
201,546
291,546




1/5
0,6
0,2
0,8326
18,435
3,687
75,687
147,687
219,687
291,687



1/5
0
0,5
0,7579
90,000
18,000
90,000
162,000
234,000
306,000



1/5
5
6
2,2754
50,194
10,039
82,039
154,039
226,039
298,039



1/5
2
3
1,6703
56,310
11,262
83,262
155,262
227,262
299,262



1/5
0,6
2
1,3424
73,301
14,660
86,660
158,660
230,660
302,660


x
1/5
0,8
12
2,7043
86,186
17,237
89,237
161,237
233,237
305,237


x
1/6
0,6
0,3
0,8754
26,565
4,427
64,427
124,427
184,427
244,427
304,427


1/6
0
0,5
0,7937
90,000
15,000
75,000
135,000
195,000
255,000
315,000


1/6
5
6
1,9841
50,194
8,366
68,366
128,366
188,366
248,366
308,366


1/6
2
3
1,5334
56,310
9,385
69,385
129,385
189,385
249,385
309,385


1/6
0,6
2
1,2781
73,301
12,217
72,217
132,217
192,217
252,217
312,217

x
1/6
0,8
12
2,2911
86,186
14,364
74,364
134,364
194,364
254,364
314,364


1/7
0,6
0,1
0,8676
9,462
1,352
52,780
104,209
155,637
207,066
258,495
309,923

1/7
0
0,5
0,8203
90,000
12,857
64,286
115,714
167,143
218,571
270,000
321,429

1/7
5
6
1,7991
50,194
7,171
58,599
110,028
161,456
212,885
264,313
315,742

1/7
2
3
1,4426
56,310
8,044
59,473
110,901
162,330
213,759
265,187
316,616

1/7
0,6
2
1,2341
73,301
10,472
61,900
113,329
164,757
216,186
267,614
319,043

1/7
0,8
12
2,0352
86,186
12,312
63,741
115,169
166,598
218,027
269,455
320,884


A partir de la tabla es posible observar cosas como:

  • a medida que n se hace màs grande, (el polìgono se aproxima cada vez màs a la circunferencia) entonces existe mayor posibilidad deque el complejo este en el interior del polìgono, como se registro en la tabla hay complejos que no pertenecen al polìgono determinado por sus raices calculadas en algun n-esimo tèrmino, pero cuando se probò para un n mayor el complejo esta en el interior del poligono.
  • Cuando a >1 y b>1 el complejo determinado por estas componentes no està contenido en el poligono de raiz n-esima asì este termino se haga infinitamente grande..
  • En la tabla se puede observar que la suma de las componentes de los complejos que se encuentran en el interior del polìgono es apròximandamente 1.


Utilizando un graficador se construyen las raices del numero conplejo para analizar las relaciones que existen entre las medidas de las camponentes a y b del complejo y si este a su vez queda en el interior del poligono.

La siguiente aplicacion tiene contrucciones de las raices 1/3 hasta 1/8. Al variar a y b se pueden obtener resultados particulares como los casos registrados en la siguiente tabla:



Tabla 2

Valores que toma K En
1/n
Complejo
Mod
Arg (z)
K=0
K=1
K=2
K=3
K=4
K=5
K=6
K=7

1/3
1.18+1.1i
1.613
42.986
14.3
134.3
254.3






1.1+0.14i
1.109
7.246
2.4
122.4
242.4






0.291+0.14i
0.323
25.667
8.55
128.55
248.55





x
0.7+0.283i
0.755
21.974
7.32
127.32
247.32






1/4
1.18+1.1i
1.613
42.986
10.74
100.74
190.74
280.74





1.1+0.14i
1.109
7.246
1.82
91.82
181.82
271.82





0.291+0.14i
0.323
25.667
6.47
96.47
186.47
276.47




x
0.7+0.283i
0.755
21.974
5.51
95.51
185.51
275.51





1/5
1.18+1.1i
1.613
42.986
8.6
80.6
152.6
224.6
296.6




1.1+0.14i
1.109
7.246
1.49
73.49
145.49
217.49
289.49




0.291+0.14i
0.323
25.667
5.14
77.14
149.14
221.14
293.14



x
0.7+0.283i
0.755
21.974
4.3
76.3
148.3
220.3
292.3



x
1/6
1.18+1.1i
1.613
42.986
7.16
67.16
127.16
187.16
247.16
307.16



1.1+0.14i
1.109
7.246
1.2
61.2
121.2
181.2
241.2
301.2



0.7+0.283i
0.755
21.974
3.66
63.66
123.66
183.66
243.66
303.66


x
1/7
1.18+1.1i
1.613
42.986
6.14
57.56
108.99
160.42
211.85
263.28
314.71


1.1+0.14i
1.109
7.246
1.03
52.46
103.89
155.32
206.74
258.17
309.60


1/8
1.18+1.1i
1.613
42.986
5.37
50.37
95.37
140.37
185.37
230.37
275.37
320.37

1.1+0.14i
1.109
7.246
0.9
45.9
90.9
135.9
180.9
225.9
270.9
315.9


Es posible concluir:

  • Cuando n=7 el poligono determinado es regular, pero los angulos que permiten la construccion de los vertices del poligono no presentan la misma generalidad que para los otros valores de n ya que las cifras significativas no son las mismas a medida que varia k,como es pocible apreciar en la tabla.
  • a medida que crece n entonces existe mayor pocibilidad que el complejo este en el interior del poligono, como se registro en la tabla hay complejos que no pertenece al poligono determinado por sus raices calculadas en algun n-esimo termino, pero cuando se probo para un n mayor el complejo esta en el interior del poligono.
  • Si a y b son simultaneamente mayores que 1 el complejo determinado por estas componentes no estara contenido en el poligono de raices n asi este termino tienda a infinito
  • La suma de las distancias determinadas por las componentes del complejo debe ser un valor cercano a 1 aproximadamente 1.15
  • el modulo y argumento del complejo pueden determinar si estara en el interior del poligono.

Caracteizacion 1

  • El estudio realizado sobre las componentes del complejo garantiza que a y b deben ser menores que 1 para que el complejo este en el interior de la circunferencia, creemos que se debe a que el rango de la funcion seno y coseno esta entre 1 y -1, ya que si n tiende a infinito y a>1, b>1 el complejo no estara en el interior del poligono, este hecho hace que se redireccione el estudio pero sobre el modulo y argumento del complejo.
  • La suma de las distancias determinadas por las componentes del complejo debe ser un valor cercano a 1 aproximadamente 1.15, esta parecia ser una conjetura valida sin embargo en la tabla 1 hay un contraejemplo cuando se calcula la raiz quinta del complejo 5i, por lo tanto la componente en Re(im) debe ser 0 < b < 1

MODULO DEL COMPLEJO

Las concluciones ya mencionadas, no son suficientes para realizar una caracterizacion de los complejos por ello, en un primer intento no se hara el estudio sobre las componentes del complejo, mas bien se hara con respecto a la relacion que existe entre el argumento y el modulo de z

Utilizando nuevamente un graficador nos fue posible ampliar el estudio pues las aplicaciones ya expuestas solo permitian graficar complejos pocitivos y el argumento solo estaba en el primer cuadrante, en cambio esta nueva contruccion tiene a z que depende de dos numeros a y b pero debe hacerse la salvedad de que en esta construccion estos numero no representan las componentes del complejo, fue un error de construccion, que a la larga nos permitio fijarnos en el modulo, para mover z movemos a o b y para variar el angulo deslizamos a m



Caracterizacion 2:

Al variar el angulo es posible inferir:

  • Las familias complejos - entiendase familia de complejos como la reunion de complejos que determinan una circunferencia - de modulo mayor o igual a cero y menores a el radio de la circunferencia inscrita en el poligono.
  • Cuando n tiende a infinito la superficie del poligono que queda por recubrir tiende a cero. Por que el numero de raices aumenta y esto hace que existan mas puntos sobre la circunferencia que cicunscribe el poligono, es decir que este se aproxima a ella. La circunferencia incrita tiende a ser la circunferencia que circuncribe el poligono.
  • Por lo tanto el modulo del complejo debe ser menor que el radio de la circunferencia circuncrita y a medida que n aumenta este se aproxima a la medida del radio.

Para una mejor visualizacion de las concluciones acabadas de mencionar ver el archivo adjunto



SUPERFICIE DEL POLIGONO Y EL MODULO DEL COMPLEJO

La caracterizacion ya mencionada fue un intento por definir la superficie del poligono en terminos de familias de complejos, pero para las primeras n-raices es inexacto, por otra parte asi n tienda a infinito nunca se recubrira por completo la superficie del poligono, y seguimos pensando que el mejor modo de caracterizar los complejos es redefiniendo el interior del poligono atravez de ellos, por eso el estudio se hara esta vez sobre cuadrilateros.

Descripcion lados del cuadrilátero : dos radios de la circunferencia inscrita en el polígono, perpendiculares a dos de sus lados contiguos, estos últimos también forman dicho cuadrilátero, comparten el vértice del polígono y el otro extremo estará determinado por la intersección de los radios de la circunferencia antes mencionados y el poligono.

Exceptuando el poligono cuando n=7, los angulos del cuadrilatero cuyos rayos contien los radios de la circunferencia incrita en el poligono son de la forma 360 / n, cuando n es 7 estos angulos no son de medida exacta lo mismo ocurre para los n que no son divisores de 360

El angulo opuesto al que acabmos de especificar coincide con el angulo del poligono, y los dos angulos que faltan por mencionar son angulos rectos.

La diagonal que une los angulos no rectos del cuadrilatero tiene como medida la raiz n-esima del modulo del complejo y divide al cuarilatero en dos triangulos congruentes, si determinamos la superficie de uno de ellos la superficie del otro triangulo quedara determinada por simetria, para tener un mejor detalle de la situacion observe el siguiente archivo adjunto.



Caracterizacion 3:

  • El modilo del complejo debe ser de medida.

Donde n es la raiz n-esima

Por ahora este es el resultado que permite recubrir con complejos la 1/n superficie del poligono, las (n-1)/n partes por simetria se recubreen con complejos del mismo modulo.